Παρασκευή 27 Νοεμβρίου 2015

Διαιρετότητα και παραγοντοποίηση


ΤΙ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΝΑ ΞΕΡΩ

Η διαιρετότητα (κριτήρια, διαιρέτες, Μ.Κ.Δ. κλπ.) και η παραγοντοποίηση είναι μια αξιόλογη γνώση που πρέπει να κατέχει κάθε μαθητής που τελειώνει το δημοτικό σχολείο. Για να κατακτήσουμε αυτή τη γνώση πρέπει να μάθουμε κάποια πράγματα απέξω και να κατανοήσουμε κάποια άλλα. Στη συνέχεια δίνονται σύντομα και περιεκτικά το τι θα πρέπει να γνωρίζει ο μαθητής πάνω στο θέμα αυτό:

Α. ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

1.       Διαιρέτης λέγεται κάθε φυσικός αριθμός που διαιρεί ακριβώς έναν άλλο φυσικό αριθμό. Για παράδειγμα ο αριθμός 9 έχει τρεις διαιρέτες: 1, 3, 9.

Σημείωση: Εάν ξέρω καλά την προπαίδεια, μπορώ να βρίσκω εύκολα τους διαιρέτες. Για παράδειγμα θέλω να βρω τους διαιρέτες του 20. Θυμάμαι από την προπαίδεια ποιοι αριθμοί όταν πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους μου δίνουν 20: 4Χ5=20 & 2Χ10=20. Επομένως το 20 έχει διαιρέτες τους αριθμούς: 4,5,2,10,1,20. (Στο τέλος πάντα προσθέτω στους διαιρέτες τον εαυτό του και το 1, αυτοί είναι οι πιο εύκολοι διαιρέτες αφού υπάρχουν σε όλους τους αριθμούς).

2.       Ζυγοί ή άρτιοι αριθμοί. Λέγονται οι αριθμοί που τελειώνουν σε  0,2,4,6,8.

3.       Μονοί ή περιττοί αριθμοί. Λέγονται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 1,3,5,7,9.

4.       Πρώτοι αριθμοί. Λέγονται οι αριθμοί που έχουν μόνο δύο διαιρέτες: τον εαυτό τους και το 1. Για παράδειγμα ο αριθμός 11 είναι πρώτος γιατί έχει μόνο δύο διαιρέτες: το 11 και το 1.
Σημείωση: Καλό είναι να ξέρω απέξω τους πρώτους αριθμούς από το 1 μέχρι το 30 που είναι οι αριθμοί (δέκα στο σύνολο): 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.

5.       Σύνθετοι αριθμοί. Λέγονται οι αριθμοί που έχουν από τρεις διαιρέτες και πάνω. Για παράδειγμα ο αριθμός 10 έχει τέσσερις διαιρέτες: 1, 2, 5, 10.


Β. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

Τα κριτήρια τα χρειαζόμαστε για να βρίσκουμε εάν ένας μεγάλος αριθμός (αυτοί που βρίσκονται εκτός της προπαίδειας) διαιρείται ακριβώς με κάποιο μικρότερο αριθμό (συνήθως τους μονοψήφιους αριθμούς).

Για παράδειγμα για τον αριθμό 24 δεν χρειάζομαι τόσο πολύ τα κριτήρια διαιρετότητας, αφού από την προπαίδεια μπορώ να ξέρω αν διαιρείται με τους περισσότερους μονοψήφιους αριθμούς (ξέρω δηλαδή ότι διαιρείται ακριβώς με το 3, το 4, το 6, το 8 και πιθανώς το 2 ή το 12).

Για ένα μεγάλο αριθμό όμως τα πράγματα είναι σαφώς πιο δύσκολα. Μας ρωτούν: διαιρείται ο αριθμός 2010 με το 3, με το 4, με το 5, με το 10; Εδώ σαφώς οι απαντήσεις είναι πολύ δυσκολότερες, αφού δε με βοηθάει η προπαίδεια και ο μόνος τρόπος για να απαντήσω είναι να κάνω ξεχωριστά τις διαιρέσεις με τον καθένα αριθμό.

Εδώ λοιπόν έρχονται τα κριτήρια διαιρετότητας και μας βοηθούν να απαντούμε στα παραπάνω ερωτήματα εύκολα, γρήγορα και με ακρίβεια.

1.       Του 2. Με το 2 διαιρούνται όλοι οι ζυγοί (άρτιοι) αριθμοί, δηλαδή όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 2, 4, 6, 8, 0. Π.χ. 22, 48, 1002, 1.000.000.

2.       Του 3. Με το 3 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που το άθροισμα των ψηφίων τους είναι: 3, 6 ή 9. Π.χ. Ο αριθμός 3.105 διαιρείται με το 3, γιατί 3+1+0+5=9.

3.       Του 4. Με το 4 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που τα δύο τελευταία ψηφία τους είναι πολλαπλάσιο του 4. Για παράδειγμα το 176 διαιρείται με το 4 γιατί τα δύο τελευταία ψηφία του είναι 76, το οποίο είναι πολλαπλάσιο του 4 (4Χ19=76).

Σημείωση: Η προπαίδεια του 4 μας βοηθάει μέχρι το 40. Από κι και πέρα προσθέτω κάθε φορά 4 για να φτάσω στον αριθμό που εξετάζω. Μπορώ να χρησιμοποιώ για σκαλοπατάκια το 60 και το 80, τα οποία μπορώ να ξέρω από πριν ότι είναι πολλαπλάσια του 4. Έτσι εάν τα δύο τελευταία ψηφία ενός αριθμού είναι 68, δεν ξεκινάω να προσθέτω 4 από το 40, αλλά από το 60 και λέω: 60+4=64, 64+4=68, επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 4.

4.       Του 5. Με το 5 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5. Π.χ. 105, 1000.

5.       Του 6. Με το 6 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται ταυτόχρονα με το 2 και το 3. Π.χ. Ο αριθμός 3.024 είναι ζυγός και διαιρείται με το 2 ενώ διαιρείται και με το 3 (αφού 3+2+4=9), έτσι θα διαιρείται και με το 6. Πχ.  144, 1.002, 3.102.

6.       Του 9. Με το 9 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που το άθροισμα των ψηφίων τους είναι 9. Π.χ. 99, 1.017, 1.000.008.

7.       Του 10. Με το 10 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0. Π.χ. 100, 1280, 1.357.960.

8.       Του 25. Με το 25 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που τα δύο τελευταία ψηφία τους είναι πολλαπλάσιο του 25. Π.χ. 175, 1025, 1.234.950.

Σημείωση: Επειδή τα πολλαπλάσια του 25 τελειώνουν σε 25, 50, 75, 00, μπορούμε πιο εύκολα να θυμόμαστε πως με το 25 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 25, 50, 75 ή 00.


Γ. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ

Παραγοντοποίηση ονομάζουμε την ανάλυση ενός  σύνθετου αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Για να το κάνουμε αυτό υπάρχουν τρεις τρόποι:

1ος  Τρόπος: Με δεντροδιαγράμματα.


Για παράδειγμα ο αριθμός 60 σπάει σε δύο αριθμούς σε 2 και 30 (αφού 2Χ30=60), στη συνέχεια τον 2 που είναι πρώτος τον μεταφέρω πιο κάτω όπως είναι, ενώ τον 30 που είναι σύνθετος τον σπάω σε 2 και 15 (αφού 2Χ15=30). Συνεχίζω έτσι μέχρι το τέλος να καταλήξω μόνο σε πρώτους αριθμούς. Έτσι τελικά γράφω:

60=2*2*3*5

2ος τρόπος: Με κάθετη γραμμή.

 

Τραβάω μια κάθετη γραμμή και ξεκινάω διαδοχικές διαιρέσεις. Αν είναι ζυγός αριθμός όπως το 60 ξεκινάω με το 2 και συνεχίζω μέχρι να μην διαιρείται πια ο αριθμός μου με αυτόν, στη συνέχεια προχωράω σε διαιρέσεις με το 3 (εάν διαιρείται), με το 5 (επίσης εάν διαιρείται) κλπ. μέχρι το τέλος να καταλήξω στον αριθμό 1 (προσοχή: για τις διαιρέσεις χρησιμοποιώ μόνο πρώτους αριθμούς). Τέλος παίρνω τους αριθμούς που είναι στα δεξιά της γραμμής και τους γράφω ως εξής:

60=2*2*3*5


3ος τρόπος: Με ανάλυση σε μια σειρά.

Αυτός ο τρόπος απαιτεί μια κάποια προηγούμενη εξοικείωση με την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Είναι πιο γρήγορος και απλός, αλλά εάν δεν έχουμε κατανοήσει πλήρως το μηχανισμό της παραγοντοποίησης μπορεί να δυσκολευτούμε. Ουσιαστικά ξεκινάμε γράφοντας τον αριθμό που θέλουμε να αναλύσουμε ως γινόμενο δύο οποιονδήποτε από τα ζευγαράκια των διαιρετών του. Πχ.

60=10*6

Στη συνέχεια ελέγχω εάν οι αριθμοί που βρήκα είναι πρώτοι και έτσι δεν χρειάζονται περαιτέρω ανάλυση ή σύνθετοι και έτσι θα τους αναλύσω κι άλλο. Στο παράδειγμά μου και το 10 και το 6 είναι σύνθετοι αριθμοί και έτσι θα τους αναλύσω κι άλλο:

60=10*6 = 2*5*2*3

Δηλαδή στη θέση του 10 έβαλα το 2*3 και στη θέση του 6 το 2*3. Ελέγχω πάλι εάν οι αριθμοί που βρήκα είναι πρώτοι οι σύνθετοι: και το 2 και το 3 και το 5 είναι πρώτοι, επομένως έχω τελειώσει την ανάλυσή του αριθμού 60 σε μια σειρά.

Στο τέλος τακτοποιώ τους παράγοντές μου (αριθμούς) με τη σειρά ξεκινώντας από τους μικρότερους.

2*2*3*5

Συνοπτικά ο παραπάνω τρόπος έχει ως εξής:

60=10*6 = 2*5*2*3 = 2*2*3*5
 
Δ. Εύρεση Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.)

Για την εύρεση του Μ.Κ.Δ. βλέπε την παρακάτω παρουσίαση:
 
Δωρεάν βιντεομαθήματα για όσους θέλουν να καταλάβουν καλύτερα:
 
Περισσότερα δωρεάν μαθήματα εδώ.
 
Για την εύρεση του Ε.Κ.Π βλέπε εδώ.
 
Αναρτήθηκε από στις
Ετικέτες ,